وجود جواب ضعیف برای معادلات اویلر-لاگرانژ کسری

در ابتدا به طور مختصر ارتباط بین مسائل تغییراتی و معادلات دیفرانسیل را بیان می کنیم. همان طور که می دانیم هر معادله دیفرانسیل را می توان به صورت ‎egin{equation} label{yek}‎ ‎a(u)= 0‎ ‎end{equation}‎ نوشت، که در آن ‎$ a(u) $‎ یک عملگر دیفرانسیل معمولی یا جزئی خطی یا غیرخطی و ‎$ u $‎ مجهول می باشد. برای حل این معادلات و به خصوص معادلات دیفرانسیل جزیی غیرخطی راه حل مشخصی وجود ندارد.حساب تغییرات یک کلاس عمده از مسائل غیرخطی را با استفاده از تکنیک های ساده آنالیز تابعی غیرخطی حل می کند. در واقع اگر در معادله دیفرانسیل‎( ef{yek})‎ عملگر ‎$ a(.) $‎ مشتق تابعک ‎$ i(.) $‎ باشد، به عبارتی ‎egin{equation}‎ ‎a(.)= i^{}(.)‎ ‎end{equation}‎ آنگاه مسئله ‎( ef{yek})‎ را می توان به صورت ‎egin{equation}‎ ‎i^{}(u)= 0‎ ‎end{equation}‎ نوشت.مــــــــزیت این فرمول بندی این است که در این حالت به جای پیدا کردن جواب معادله دیفرانسیل ‎( ef{yek})‎، می توانیم نقاط بحرانی ‎$ i(.) $‎ را پیدا کنیم. لذا با توجه به آنــــچه گفتیم، با بررسی هر مسئله تغییراتی و با اعمال شرایطی روی آن، موفق به حل یک معادله دیفرانسیل خواهیم شد.در این روند دو سوال مطرح می شود، اول این که اگر معادله دیفرانسیل داده شده باشد، آنگاه ‎$ i $‎ چگونه و روی چه فضایی تعریف شود تا نقاط بحرانی آن در صورت وجود با جواب معادله دیفرانسیل سازگار باشد. از طرف دیگر، سوال کلی تر نیز مطرح است که چگونه از تابعک های لاگرانژ، به جواب معادلات اویلر-لاگرانژ برسیم که در این روند مهم ترین نقش را فضای کار و بهینه سازی تابعک لاگرانژ ایفا می کند. ‎‎ در این پایان نامه با به کارگیری روش های مستقیم تغییراتی به یافتن جواب ضعیف برای معادله اویلر-لاگرانژ کسری زیر روی بازه ‎$ [a‎, ‎b] $‎ خواهیم پرداخت، ‎egin{equation} label{moadeleh1}‎ ‎frac{partial{l}}{partial{x}}(u,d_{-}^{alpha}u‎, ‎t)‎ + ‎d_{+}^{alpha}(frac{partial{l}}{partial{y}}(u,d_{-}^{alpha}u,t)) = 0‎ ‎end{equation}‎ که در آن ‎$ d_{-}^{alpha} $‎ و ‎$ d_{+}^{alpha} $‎ به ترتیب مشتقات کسری ریمان-لیوویل‎ltrfootnote{riemann-liouville}‎ چپ و راست از مرتبه ‎$ alpha $‎ و همچنین ‎$ frac{partial{l}}{partial{y}} $‎ و ‎$ frac{partial{l}}{partial{x}} $‎ مشتقات جزئی عملگر لاگرانژین نسبت به مولفه های اول و دوم می باشند. ‎‎برای این منظور روی تابعک ‎egin{equation} label{lagrang}‎ ‎mathcal{l}(u)=int_a^b{l(u,d_{-}^{alpha}u,t)}dt‎ ‎end{equation}‎ متمرکز می شویم، که از نوع مینیمم سازی تابعک انرژی خواهد بود، و در آن ‎$ a < b $‎ و متغیــــــر ‎$ u:(a,b)longrightarrow mathbb{r} $‎ یک تابع برداری است‎.‎ ‎$ mathcal{l}(u) $‎را تابعک انرژی یا تابعک لاگرانژ نامیده و لاگرانژین ‎$ l $‎ را به صورت زیر در نظر می گیریم، که در آن ‎$ din mathbb{n}^* $‎ است. ‎egin{equation}‎ ‎egin{array}{ll}‎ ‎l:{mathbb{r}^d} imes{mathbb{r}^d} imes[a,b]longrightarrow mathbb{r} ‎ ‎(x,y,t)longmapsto l(x,y,t)‎ ‎end{array}‎ ‎end{equation}‎ ‎‎در واقع با بررسی تابعک ‎( ef{lagrang})‎ و با اعمال شرایطی روی عملگر لاگرانژین ‎$ l $‎، به بحث وجود و یکتایی جواب معادله اویلر-لاگرانژ به دست آمده از مسئله تغییراتی مورد نظر می پردازیم‎.‎ در تابعک انرژی فوق، عملگر ‎$ l $‎ درگیر با مشتق ریمان-لیوویل چپ می باشد، در حالی که می توانیم مشتقات دیگر مثل مشتق کاپوتو ‎ltrfootnote{caputo}‎، ریس ‎ltrfootnote{riesz}‎، هادامارد‎ltrfootnote{hadamard}‎و ... را نیز جایگزین کنیم‎.‎ همان طور که مسئله برای حالتی که معادله اویلر-لاگرانژ درگیر با مشتق کاپوتو می باشد، توسط بوردین‎ltrfootnote{bourdin}‎ و همکارانش در ‎cite{bourdin}‎ مورد بحث و بررسی قرار گرفته است